Funktionen ln(ln(x))

Vis foregående emne Vis næste emne Go down

Funktionen ln(ln(x))

Indlæg by Thomas on Tirs jul 18, 2017 2:10 pm

Man opstiller almindeligt rækkefølgen af elementære funktioner efter størrelsesorden:

ln(x) << xn << ex << xx

Denne opstilling er imidlertid ikke fuldstændig, fordi der er funktioner, der er endnu mere langsomt voksende; men stadig stiger ud over alle grænser for x → ∞.
Lad os se på grænseværdien for ln(x)/ln(ln(x)):

limx → ∞ ln(x)/ln(ln(x)), hvor ∞ indsat for x giver det ubestemte udtryk "∞/∞", hvilket betyder at l'Hospitals regel kan bruges. Dvs. at grænse værdien for differentialet af nævner og tæller har samme grænseværdi som det oprindelige forhold mellem funktionerne:

limx → ∞ f(x)/g(x) = limx → ∞ f'(x)/g'(x)

NB! Det er ikke diffentialet af en brøk! Det er nemlig, som jeg husker det:

[f(x)/g(x)]' = [g(x)f'(x) - g'(x)f(x)] / g2(x)

Altså:
limx → ∞ ln(x)/ln(ln(x)) = limx → ∞ (1/x) / [1/ln(x) * 1/x] = limx → ∞ [x*(1/x)] / [1/ln(x) * 1/x *x]

= limx → ∞ 1 / [1/ln(x)] = limx → ∞ ln(x) = ∞

Det betyder så meget som, at uanset, hvor langsomt ln(x) vokser, så er der altid en funktion, der er langsommere - og stadigvæk går mod uendeligt.
avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

Vi kender faktisk funktionen!

Indlæg by Thomas on Tirs jul 25, 2017 1:27 am

Hvis vi ignorerer inflationen ved at sætte den til nul, så bliver 2.7 til:

1.1
rr = tp
<=>

Tager vi ln på begge sider:

1.2
r * ln(r) = p * ln(t)  <=> (r/p) * |ln(r)| = ln(t)
<=>

Vi skal så passe på, at vi ikke kommer til at tage ln til et negativt tal, så r må være defineret som (1+i), hvor i er rentefoden (af bekvemmelighedshensyn sat: i > 0)
Så tager vi ln én gang til.

1.3
ln[(r/p)*ln(r)] = ln[ln(t)]  <=> ln(r/p) + ln[ln(r)] = ln(ln(t))
<=>
avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

Vi kommer i problemer med annuiteter!

Indlæg by Thomas on Ons jul 26, 2017 2:15 am

Lad os lige repetere udledningen af nutidsværdien af en række betalinger som er lige store udbetalt med lige store mellemrum:

3.1
K0 = y/(1+i)1 + y/(1+i)2 + y/(1+i)3 + ... +  y/(1+i)(n-1) + y/(1+i)n
<=>
Hvor:

  • K0 er nutidsværdien.
  • i er rentefoden (må ikke forveksles med i=√-1 - skønt fejlen er nærliggende eftersom ingen rigtigt ved,
    hvor renten er blevet af for tiden)
  • n er antallet af terminer.

3.2
K0 = y[1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... +  1/(1+i)(n-1) + 1/(1+i)n] * [1- 1/(1+i)]/[1- 1/(1+i)]
<=>
3.3 K0/y =
[1/(1+i)1 - 1/(1+i)2+ 1/(1+i)2 - 1/(1+i)3+ 1/(1+i)3 - ... - 1/(1+i)(n-1) + 1/(1+i)(n-1) - 1/(1+i)(n) + 1/(1+i)n - 1/(1+i)(n+1)] * [1/[1- 1/(1+i)]
3.4  =
[1/(1+i)1 - 1/(1+i)(n+1)] * [1*(1+i)/(1+i)*[1- 1/(1+i)]
<=>
3.5
K0/y = [1/(1+i)][1 - 1/(1+i)(n)] * [(1+i)/(1 + i - 1)]
<=>
For at få formlen i den form, vi kender den:
3.6
K0/y = (1 - 1/(1+i)n) / i eller limn→∞ K0 = y/i

Jeg ved ikke om man kan se, hvor det er, man er i problemer?

Så vidt jeg kan se er det i forbindelse med,  i - eller rettere: (1+i) - er en funktion af tiden t (eller n).
Normalt betyder det ikke noget for n ≤ 2år, fordi ln(ln(t)) har en meget skarp bue, fordi man ikke kan tage logaritmen af et negativt tal. For korte kreditter betyder annuitetsformlen ingenting og er som sådan uinteressant (i princippet) for kassekreditter o.lign., hvis disse bliver brugt efter hensigten: Til betalingsafvikling og ikke til finansiering af investeringer (eller overforbrug).
Skelnen er langt fra triviel, fordi den kreditvurdering en bank principielt kan foretage rækker ikke ud over hvad et årsregnskab kan oplyse.

Den omstændighed, at ln(ln(t)) vokser så umådeligt langsomt gør, at en fast rente ikke er generende. Fordi afvikles en annuitet efter planen, så falder restgælden specielt hurtigt i sidste halvdel af løbetiden.

Sagen stiller sig imidlertid ikke så lidt anderledes, når vi taler løbetider over 20 år (der så i øvrigt heller ikke bliver afdraget Evil or Very Mad ). Efter 15-20 år vil det imidlertid gå galt: log10(log10(10)) bliver nemlig negativ. Typisk vil en annuitet også blive refinansieret efter 10 år. Det kan være et sammenfald, at vi taler log10; men under alle omstændigheder skal der være en grænse et sted.

Jeg er mig fuldt bevidst, at en diskussion af dette emne er futil, hvis skolelærere og banksvin mener, at de er berettiget til at have en mening. Problemet er imidlertid, at vi taler om landets finansielle stabilitet og den samlede økonomis evne og udsigter til at komme nogenlunde helskindede fra den ulykke, som banksvinene har påført os.
Jeg vil her minde om nationalbankdirektørens betragtninger om flexlånene, der kunne have en berettigelse i ganske sjældne tilfælde for meget velstående, der skulle bruge et par år til at få restruktureret formuen. F.eks. fra en komplet ligegyldig pensionsopsparing.
avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

Den inverse x^x

Indlæg by Thomas on Fre okt 06, 2017 1:56 pm

funktionsanalyse.

differentiering X^X^X

Så har jeg sat en japansk og indisk professor i arbejde.....

Som ses her.
avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

X^X^X^.........

Indlæg by Thomas on Man okt 09, 2017 12:03 am

Thomas skrev:funktionsanalyse.

differentiering X^X^X

Så har jeg sat en japansk og indisk professor i arbejde.....

Som ses her.

Hmmm......
avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

Forskellige baser

Indlæg by Thomas on Lør okt 14, 2017 1:21 am

avatar
Thomas

Antal indlæg : 25209
Join date : 27/10/08

Vis brugerens profil

Tilbage til toppen Go down

Re: Funktionen ln(ln(x))

Indlæg by Sponsored content


Sponsored content


Tilbage til toppen Go down

Vis foregående emne Vis næste emne Tilbage til toppen


 
Permissions in this forum:
Du kan ikke besvare indlæg i dette forum